三角形内角和等于180度_三角形内角和一定是 180°吗？

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三角形内角和一定是 180°吗？

如果有人问你：“三角形的内角总和是多少？”你一定会毫不犹豫地回答：“180度！”但如果对方告诉你说并非如此，你或许会觉得他在胡言乱语。实际上，“三角形的内角总和等于180度”只是欧几里得几何的一个定理，即在欧几里得几何中，三角形的内角总和确实等于180度，但如果超出这个范围，情况则不然。

举个例子，假设地球的赤道、0度经线和90度经线相交形成一个“三角形”。你会发现这个“三角形”的三个角度都是90度，它们的总和实际上是270度！

对此感到惊讶吗？知道除了欧几里得几何之外，还有其他类型的几何学吗？这类几何学被称为非欧几何。

首先需要了解一下欧式几何。欧式几何是指根据古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》构建的几何学。有时候，欧式几何仅指的是平面几何，也就是我们在学校中学到的那种几何。以下是欧式几何的五个基本公理：

1. 任何两个点都可以通过一条直线相连。

2. 任何线段都能无限延伸成为一条直线。

3. 给定任何线段，你可以选择其一端作为圆心，将此线段作为半径画一个圆。

4. 所有的直角都是相等的。

5. 如果两条直线都与第三条直线相交，并且在同一侧形成的内角之和小于两个直角之和，那么这两条直线在这侧必须相交。

这五个看似显而易见的公理构成了平面几何的基础。我们正是依赖这些公理解开了无数的几何问题。然而，你是否注意到第五公理（平行公理）与其他公理相比显得较为冗长，并且并不明显呢？

在《几何原本》中，前28个命题的证明并未使用到这个公理，这让人们开始思考：这条复杂的公理是否可以从其他公理和公设中推导出来？换句话说，平行公理可能是多余的。

接着出现了罗巴切夫斯基几何。在这个时期，一些数学家提出，第五公理能否不再被视为公理，而是作为一种定理呢？或者，是否有可能利用前四个公理来证明第五公理呢？这个问题成为了几何史上最具影响力的争议之一，持续了超过两千年。

尽管证明第五公理的努力始终未能成功，人们对这种方法产生了怀疑。第五公理真的能够被证明吗？

到了18世纪，俄罗斯喀山大学的教授罗巴切夫斯基（Lobachevsky）在寻找证明第五公理的方法时选择了另外一条道路。罗巴切夫斯基的父亲也一直致力于研究第五公理的证明，但他并没能取得实质性的进展，他曾告诫他的儿子：“你最好不要涉及第五公理，我已经研究了一生，都没有找到答案，这简直就是数学家的噩梦。”

然而，罗巴切夫斯基并没有听取父亲的劝告。他提出了一个与欧氏平行公理相反的命题：“过直线外一点，至少可以画出两条与已知直线不相交的直线”，以此取代第五公理，并将其与欧氏几何的前四个公理结合起来形成一个新的公理系统。他相信，如果基于这个系统的所有推理最终产生矛盾，那就意味着第五公理是正确的。

在罗巴切夫斯基非常详细和深入的推理过程中，他得出了许多违反直觉但逻辑上并无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出了两个关键的结论：

1. 第五公理无法被证明。

2. 基于新公理系统的推理系列产生了一系列在逻辑上无矛盾的新定理，并形成了一套完整的理论体系。这套体系就像欧氏几何学的理论体系一样严谨和完善。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何学，或简称为罗氏几何学，是我们最早发现的一种非欧几何学。

罗氏几何学的公理系统与欧氏几何学的不同之处在于，只对平行公理进行了修改，即将欧氏几何学的平行公理“过直线外一点，能且只能画出一条与已知直线平行的直线”改为“过直线外一点，至少可以画出两条与已知直线平行的直线”，其余公理基本上相同。由于平行公理的不同，经过演绎推理，得出了一系列与欧氏几何学内容不同的新命题。

读者可能会觉得上述命题违背了我们的直觉。然而，数学家们意识到，他们可以通过一种直观的方式来验证非欧几何学的正确性。

1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇名为《非欧几何解释的尝试》的著名论文，证明了非欧几何学能够在欧几里得空间的曲面上（如拟球面）得以实现。他发现这里的三角形内角总和小于180度，这就相当于为罗氏几何学找到了一个具有实际意义的模型。

被誉为“数学王子”的高斯也意识到了第五公理无法被证明，并且对非欧几何学进行了研究。然而，出于对教会势力可能会对这种新理论进行打压的担忧，高斯不敢公开发布自己的研究成果，只是在信件中向朋友表达了个人的看法，并未公开支持罗巴切夫斯基的新理论。

接下来出现了黎曼几何。这位名叫黎曼的数学家，结合了欧式几何的前四个公理以及“过一点，没有直线与已知直线平行”，创立了自己的几何学——黎曼几何。例如，在球面上，过直线外一点所画的直线必然与已知直线相交。因此，黎曼几何也被称作椭球几何。

有些人可能会说地球仪上的纬线是平行的。但请注意，虽然在展开后纬线看起来是直的，但实际上纬线上任意两点之间的最短距离并不是纬线本身（除非你在赤道）。在球面上，直线只有大圆。

在现代，黎曼几何在航海学中得到了广泛的应用。地球本身就是一个曲面，如果使用欧式几何，只会得到错误的结果。

总结一下，数学的意义在于，它经常领先于其他学科，通过数学研究，我们可以为其他学科提供很多帮助。

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